Geometria Plana - área de qualquer triângulo

A área de um triângulo é calculada utilizando as dimensões da base e altura do triângulo através da fórmula  , mas essa fórmula somente é aplicada nos triângulos em que se conhece a medida da altura. Para o cálculo da área de um triângulo qualquer podemos utilizar outras fórmulas.

Área de um triângulo com base o semiperímetro – Fórmula de Heron de Alexandria
A fórmula de Heron deve ser usada nas situações em que se conhece o valor dos três lados do triângulo. Dado o triângulo ABC de lados a, b e c:

A área de um triângulo qualquer pode ser calculada utilizando a seguinte fórmula:

Onde os valores de a, b, c correspondem aos lados do triângulo e o valor de p é o valor do semiperímetro (soma de todos os lados de um triângulo dividido por dois):

Área do triângulo utilizando o seno de um dos seus ângulos.

Dado o triângulo ABC de lados a, b, c:

Observando o ângulo A podemos calcular a sua área através do seno de A, veja:

Se levarmos em consideração o ângulo C, o cálculo da área será feito através da seguinte fórmula:



Se levarmos em consideração o ângulo B, o cálculo da área será feito através da seguinte fórmula:




O conhecimento das várias formas de calcular a área de um triângulo é de extrema importância nas avaliações de classificação, pois o estudante ao aplicar tais definições exclui alguns cálculos complexos, os quais podem levar algum tempo para se chegar a uma solução concreta.


Exemplo 1

 

Exemplo 2

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Progressão Geométrica - P.G.

Dizemos que uma sequência numérica constitui uma progressão geométrica quando, a partir do 2º termo, o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual. Observe a sequência:

(2, 4, 8, 16, 32, 64,...), dizemos que ela é uma progressão geométrica, pois se encaixa na definição dada.

4 : 2 = 2
8 : 4 = 2
16 : 8 = 2
32 : 16 = 2
64 : 32 = 2

O termo constante da progressão geométrica é denominado razão.

Muitas situações envolvendo sequências são consideradas PG, dessa forma, foi elaborada uma expressão capaz de determinar qualquer elemento de uma progressão geométrica. Veja:

Com base nessa expressão, temos que:

a₂ = a₁ * q
a₃ = a₁ * q²
a₅ = a₁ * q⁴
a₁₀ = a₁ * q⁹
a₅₀ = a₁*q⁴⁹
a₁₀₀ = a₁*q⁹⁹


Exemplo 1

Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG.

a₈ = 4 * 3⁷
a₈ = 4 * 2187
a₈ = 8748

O 8º termo da PG descrita é o número 8748.

Exemplo 2

Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...), determine o 20º termo.


a₂₀ = 3 * 3¹⁹
a₂₀ = 4 * 1.162.261.467
a₂₀ = 4.649.045.868



Soma dos termos de uma PG

A soma dos termos de uma PG é calculada através da seguinte expressão matemática:

Exemplo 3

Considerando os dados do exemplo 2, determine a soma dos 20 primeiros elementos dessa PG.

Exemplo 4

Uma dona de casa registrou os gastos mensais com supermercado durante todo o ano. Os valores foram os seguintes:

Janeiro: 98,00
Fevereiro: 99,96
Março: 101,96
Abril: 104,00
Maio: 106,08

Calcule o gasto anual dessa dona de casa, considerando que em todos os meses o índice inflacionário foi constante.

Os termos estão em progressão geométrica, observe:

106,08 : 104 = 1,02
104 : 101,96 = 1,02
101,96 : 99,96 = 1,02
99,96 : 98,00 = 1,02

A razão dessa progressão geométrica é dada por 1,02, isto indica que a inflação entre os meses é de 2%. Vamos determinar a soma dos gastos dessa dona de casa, observe:

Os gastos da dona de casa com compras de supermercado, foram equivalentes a
R$ 1.317,39.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Progressão Aritimética - P.A.

Observe a seqüência abaixo:
( 2, 5, 8, 11, ...)
Notemos que a diferença entre um termo qualquer dessa seqüência e seu antecedente é sempre igual a 3:
5 – 2 = 3
8 – 5 = 3
11 – 8 = 3

Assim:
Progressão Aritmética (P.A) é uma seqüência de números reais em que a diferença entre um termo qualquer ( a partir do segundo) e o tremo antecedente é sempre a mesma (constante).
Essa constante é chamada de razão da P.A representada por r.
Exemplos:
• (-5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, ...) é P.A de razão r = 2.

• (23, 20, 17, 14,...) é P.A de razão r = -3.

• (5, 5, 5, 5,...) é P.A de razão r = 0.

A razão tem algumas particularidades como:
• r > 0, dizemos que a P.A é crescente
• r < 0, dizemos que a P.A é decrescente
• r = 0, todos os termos da P.A são iguais, ou seja, a P.A é constante.

                                                         TERMO GERAL DA P.A.

Considerando a P.A (a₁, a₂, a₃, a₄, ...., a_n) de razão r. Temos:
• a₂ - a₁ = r      →      a₂ = a_{1 + r}

• a₃ - a₂ = r      →      a₃ = a_{2 + r}      →      a₃ = a_{1 + 2r}

• a₄ – a₃ = r     →      a₄ = a_{3 + r}      →      a4 = a_{1 + 3r}
             .                              .                                   .
             .                              .                                   .
             .                              .                                   .
Assim: 
                                                                an = a1 + ( n – 1) . r

Essa fórmula acima é conhecida como a fórmula do termos geral de uma P.A.

Exmplo:
Vamos calcular o 20º termo da P.A (26, 31, 36, 41, ...):
Para efetuarmos os calulos é necessário que retiremos os dados necessários.
Como: a₁ = 26 e r = 31 – 26 = 5
Utilizando a fórmula do termo geral caculemos o 20º termo da P.A.
a₂₀ = 26 + ( 20 – 1) . 5
a₂₀ = 26 + 19 . 5
a₂₀ = 26 + 95
a₂₀ = 121
Conclimos que o 20º termo dessa P.A é 121.

                                                           NOTAÇÕES ESPECIAIS

Para determinar uma P.A apartir de seus elementos utilizamos de algumas notações que facilitam a resolução de alguns exercícios.
 • Para três termos em P.A, podemos escrever:
                               ( x – r , x , x + r )

• Para cinco termos em P.A, podemos escrever:
                      (x – 2r , x – r , x , x + r , x – 2r )

Exemplo:
Determine três números em P.A, sabendo que o elemento central é 4 e o produto entre eles é 28.
Para efetuarmos os calculos é necessário que retiremos os dados:
Como a P.A tem 3 termos ( x – r , x , x + r ) e x = 4
(x – r) . x . (x + r) = 28.
Então:
(4 – r) . 4 . (4 + r) = 28
r = +3 e r = -3
Assim iremos obter duas P.A
Para r = +3 a P.A será ( 1, 4, 7)
Para r = -3 a P.A será ( 7, 4, 1)

                                         SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.A

A fórmula que nos permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma P.A qualquer é preciso:
Considere a P.A (a₁, a₂, a₃, ..., a_{n - 2}, a_{n – 1} , ... , a_n, … ) Indiquemos a soma dos n primeiros termos por S_n. Temos então:

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_{n – 2} + a_{n - 1} + a_n               ou
S_n = a_n + a_{n - 1} + a_{n - 2} + ... +a₃ + a₂ + a₁

Somando essas igualdades membro a membro, obtemos:
                                                                        
Por: Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola

Sequências Numéricas

Seqüência é sucessão, encadeamento de fatos que se sucedem.
É comum percebermos em nosso dia-a-dia conjuntos cujos elementos estão dispostos em certa ordem, obedecendo a uma seqüência.
Por exemplo:
Todos nós sabemos que o Brasil é penta campeão mundial de futebol e os anos, em ordem cronológica, em que ele foi campeão mundial são: 1958, 1962, 1970, 1994 e 2002. Essas datas formam um conjunto com os elementos dispostos numa determinada ordem.
O estudo de seqüência dentro da matemática é o conjunto de números reais dispostos em certa ordem. Assim chamado de seqüência numérica.

Exemplo:
• O conjunto ordenado (0, 2, 4, 6, 8, 10,...) é a seqüência de números pares.
• O conjunto ordenado (7, 9, 11, 13,15) é a seqüência de números impares ≥ 7 e ≤ 15.
• O conjunto ordenado (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, 200) é uma seqüência de números que começa com a letra D.

Matematicamente quando temos uma seqüência numérica qualquer, representamos o seu 1º termo por a₁ assim sucessivamente, sendo o n-ésimo termo a_n.
Exemplo:
• (2, 4, 6, 8, 10) temos: a₁ = 2; a₂ = 4; a₃ = 6; a₄ = 8; a₅ = 10

A seqüência acima é uma seqüência finita sua representação geral é (a₁, a₂, a₃,..., a_n ), para as seqüências que são infinitas a representação geral é (a₁, a₂, a₃, a_n, ... ).

Para determinarmos uma seqüência numérica precisamos de uma lei de formação.
Exemplo:
A seqüência definida pela lei de formação a_n = 2n² - 1, n  N*, onde n = 1, 2, 3, 4, 5, ... e a_n é o termo que ocupa a n-ésima posição na seqüência. Por esse motivo, a_n é chamado de termo geral da sequência.
Utilizando a lei de formação a_n = 2n² - 1, atribuindo valores para n, encontramos alguns termos da seqüência.
• n = 1 → a₁ = 2 . 1² - 1 → a₁ = 1
• n = 2 → a₂ = 2 . 2² - 1 → a₂ = 7
• n = 3 → a₃ = 2 . 3² - 1 → a₃ = 17
• n = 4 → a₄ = 2 . 4² - 1 → a₄ = 31
.
.
.
Assim a seqüência formada é (1, 7, 17, 31, ...)

Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola

Binômio de Newton

INTRODUÇÂO -

Binômio de Newton foi definido pelo físico e matemático Isaac Newton, esse estudo veio para complementar o estudo de produto notável. 
Produto notável diz que um binômio elevado ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro monômio mais duas vezes o primeiro, vezes o segundo monômio mais o quadrado do segundo monômio. 

(a + b)² = a² + 2ab + b² 

Essa forma só é válida se o binômio for elevado ao quadrado (potência 2), se ele estiver elevado à potência 3, devemos fazer o seguinte:

(a + b)³ é o mesmo que (a + b)² . (a + b), como sabemos que (a + b)² = a² + 2ab + b², basta substituirmos:

(a + b)³ =
(a + b)² . (a + b) =
(a² + 2ab + b²) . (a + b) =
a³ + 3a²b + 3ab² + b²

E se for elevado à quarta, à quinta, à sexta potência, devemos utilizar sempre o binômio elevado à potência anterior para resolver.
O binômio de Newton veio pra facilitar esses cálculos, pois com ele calculamos a enésima potência de um binômio. 

O estudo de Binômio de Newton engloba:

- Coeficientes Binomiais e suas propriedades
- Triângulo de Pascal e suas propriedades
- Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton .

Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola

Definição de números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton.

Para iniciar o estudo de números binomiais é necessário relembrar situações que envolvem produtos notáveis. Com base na expressão (x + y)ⁿ  iremos calcular as expressões seguintes considerando n ≤ 3.

(x + y)⁰ = 1
(x + y)¹ = x + y
(x + y)² = x² + 2xy + y²
(x + y)³ = x³ +3x²y + 3xy² + y³

Com base no desenvolvimento das expressões onde n ≤ 3, podemos estabelecer uma relação para cálculos quando n > 3. Observe:
(x + y)⁴ = (x + y)(x + y)³ = (x + y)*( x³ +3x²y + 3xy² + y³)
x⁴ + 3x³y + 3x²y² + xy³ + xy³ + 3x²y² + 3xy³ + y⁴
x⁴ + 3x³y + 6x²y² + 2xy³ + y⁴

De acordo com que n > 3, os cálculos começam a ficar mais complexos e trabalhosos. Para cálculos em que n assume valores elevados, usamos a definição do binômio de Newton, mas antes precisamos conhecer algumas técnicas para adentrarmos em tal conteúdo.

Podemos definir os coeficientes binomiais através da seguinte generalização:

com n Є N, m Є n e m ≤ n.

Situações particulares


Destacamos que os coeficientes binomiais serão de grande importância na utilização da seguinte expressão
(x + y)ⁿ

 Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Desenvolvendo a expressão (a+b)n através do Binômio de Newton.

Algumas situações matemáticas precisam, para serem resolvidas, de algumas técnicas de resolução, outras podemos desenvolver aplicando algumas generalizações, o Binômio de Newton é uma dessas generalizações que usamos na expressão (a+b)ⁿ, com n > 3, no intuito de desenvolvê-la por completo.
Ao desenvolvermos expressões desse tipo sem o uso da forma binomial de Newton teremos muito trabalho, veja:
Desenvolver a expressão (a + 6)⁴.

(a+6)*(a+6)*(a+6)*(a+6), a propriedade distributiva da multiplicação pode se tornar meio confusa, ocasionando erros no desenvolvimento da expressão.

Podemos escrever a expressão (a+b)ⁿ da seguinte forma:

Vamos aplicar a expressão Binomial de Newton no desenvolvimento da expressão (2x+3)⁵

Podemos notar a praticidade  e organização do desenvolvimento da expressão (2x+3)⁵ pela forma do termo geral do Binômio de Newton.
O desenvolvimento da expressão que possui o sinal negativo  (a-b)ⁿ  deve ser efetuado do mesmo modo, alternando somente os sinais, iniciar com sinal positivo e alternar com o negativo. A expressão (2x – 3)⁵ teria o seguinte desenvolvimento:

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola