(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Essa forma só é válida se o binômio for elevado ao quadrado (potência 2), se ele estiver elevado à potência 3, devemos fazer o seguinte:
(a + b)3 é o mesmo que (a + b)2 . (a + b), como sabemos que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, basta substituirmos:
(a + b)3 =
(a + b)2 . (a + b) =
(a2 + 2ab + b2) . (a + b) =
a3 + 3a2b + 3ab2 + b2
E se for elevado à quarta, à quinta, à sexta potência, devemos utilizar sempre o binômio elevado à potência anterior para resolver.
O estudo de Binômio de Newton engloba:
- Coeficientes Binomiais e suas propriedades
- Triângulo de Pascal e suas propriedades
Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola
Desenvolvendo a expressão (a+b)n através do Binômio de Newton.
Algumas situações matemáticas precisam, para serem resolvidas, de algumas técnicas de resolução, outras podemos desenvolver aplicando algumas generalizações, o Binômio de Newton é uma dessas generalizações que usamos na expressão (a+b)n, com n > 3, no intuito de desenvolvê-la por completo.
Ao desenvolvermos expressões desse tipo sem o uso da forma binomial de Newton teremos muito trabalho, veja:
Desenvolver a expressão (a + 6)4.
(a+6)*(a+6)*(a+6)*(a+6), a propriedade distributiva da multiplicação pode se tornar meio confusa, ocasionando erros no desenvolvimento da expressão.
Podemos escrever a expressão (a+b)n da seguinte forma:
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Vamos aplicar a expressão Binomial de Newton no desenvolvimento da expressão (2x+3)5
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Podemos notar a praticidade e organização do desenvolvimento da expressão (2x+3)5 pela forma do termo geral do Binômio de Newton.
O desenvolvimento da expressão que possui o sinal negativo (a-b)n deve ser efetuado do mesmo modo, alternando somente os sinais, iniciar com sinal positivo e alternar com o negativo. A expressão (2x – 3)5 teria o seguinte desenvolvimento:
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Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola
Definição de números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton.
Para iniciar o estudo de números binomiais é necessário relembrar situações que envolvem produtos notáveis. Com base na expressão (x + y)n iremos calcular as expressões seguintes considerando n ≤ 3.
(x + y)0 = 1
(x + y)¹ = x + y
(x + y)² = x² + 2xy + y²
(x + y)³ = x³ +3x²y + 3xy² + y³
Com base no desenvolvimento das expressões onde n ≤ 3, podemos estabelecer uma relação para cálculos quando n > 3. Observe:
(x + y)4 = (x + y)(x + y)³ = (x + y)*( x³ +3x²y + 3xy² + y³)
x4 + 3x³y + 3x²y² + xy³ + xy³ + 3x²y² + 3xy³ + y4
x4 + 3x³y + 6x²y² + 2xy³ + y4
De acordo com que n > 3, os cálculos começam a ficar mais complexos e trabalhosos. Para cálculos em que n assume valores elevados, usamos a definição do binômio de Newton, mas antes precisamos conhecer algumas técnicas para adentrarmos em tal conteúdo.
Podemos definir os coeficientes binomiais através da seguinte generalização:
com n Є N, m Є n e m ≤ n.
Situações particulares
Destacamos que os coeficientes binomiais serão de grande importância na utilização da seguinte expressão
(x + y)n
(x + y)0 = 1
(x + y)¹ = x + y
(x + y)² = x² + 2xy + y²
(x + y)³ = x³ +3x²y + 3xy² + y³
Com base no desenvolvimento das expressões onde n ≤ 3, podemos estabelecer uma relação para cálculos quando n > 3. Observe:
(x + y)4 = (x + y)(x + y)³ = (x + y)*( x³ +3x²y + 3xy² + y³)
x4 + 3x³y + 3x²y² + xy³ + xy³ + 3x²y² + 3xy³ + y4
x4 + 3x³y + 6x²y² + 2xy³ + y4
De acordo com que n > 3, os cálculos começam a ficar mais complexos e trabalhosos. Para cálculos em que n assume valores elevados, usamos a definição do binômio de Newton, mas antes precisamos conhecer algumas técnicas para adentrarmos em tal conteúdo.
Podemos definir os coeficientes binomiais através da seguinte generalização:
com n Є N, m Є n e m ≤ n.
Situações particulares
Destacamos que os coeficientes binomiais serão de grande importância na utilização da seguinte expressão
(x + y)n
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola
Desenvolvendo a expressão (a+b)n através do Binômio de Newton.
Algumas situações matemáticas precisam, para serem resolvidas, de algumas técnicas de resolução, outras podemos desenvolver aplicando algumas generalizações, o Binômio de Newton é uma dessas generalizações que usamos na expressão (a+b)n, com n > 3, no intuito de desenvolvê-la por completo.
Ao desenvolvermos expressões desse tipo sem o uso da forma binomial de Newton teremos muito trabalho, veja:
Desenvolver a expressão (a + 6)4.
(a+6)*(a+6)*(a+6)*(a+6), a propriedade distributiva da multiplicação pode se tornar meio confusa, ocasionando erros no desenvolvimento da expressão.
Podemos escrever a expressão (a+b)n da seguinte forma:
Vamos aplicar a expressão Binomial de Newton no desenvolvimento da expressão (2x+3)5
Podemos notar a praticidade e organização do desenvolvimento da expressão (2x+3)5 pela forma do termo geral do Binômio de Newton.
O desenvolvimento da expressão que possui o sinal negativo (a-b)n deve ser efetuado do mesmo modo, alternando somente os sinais, iniciar com sinal positivo e alternar com o negativo. A expressão (2x – 3)5 teria o seguinte desenvolvimento:
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
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